حل المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی

حل المسائل معادلات دیفرانسیل معمولی (ODEs)

در این مطلب در مورد یکی از مهم‌ترین مفاهیم تاریخ علم، یعنی «معادلات دیفرانسیل» (differential equation)، صحبت شده است. معادله دیفرانسیل، رابطه‌ای میان تابع، مشتقات آن و متغیرهای مستقل‌اش است. بنابراین ما خواهیم توانست، انواع محاسبات را انجام دهیم، از هر پدیده‌ای نموداری به منظور توصیف آن تهیه کنیم و حتی قادر خواهیم بود آینده را پیش بینی کنیم!

حل شدن یک معادله دیفرانسیل به چه معناست؟

زمانی یک معادله دیفرانسیل حل شده است که تابع y بر حسب متغیر‌های وابسته‎‌اش پیدا شده باشد. به طور دقیق‌تر، یعنی اینکه بدانیم مثلا y که تابعی از متغیر x در نظر گرفته‌شده، طبق کدام رابطه توصیف می‌شود. روش‌های متفاوتی به منظور حل یک معادله دیفرانسیل وجود دارند، اما در ابتدا بایستی بدانیم که چرا معادلات دیفرانسیل مهم هستند.

چرا معادلات دیفرانسیل مفید هستند؟

در دنیایی زندگی می‌کنیم که پدیده‌ها دائماً در حال تغییر هستند. این در حالی است که می‌توان اکثر این دگرگونی‌ها را با استفاده از معادلات دیفرانسیل توصیف کرد. به عنوان مثال، آلبرت انیشتین به منظور توصیف نیروی گرانشی از معادلات دیفرانسیل استفاده کرد؛ او به کمک این معادلات هم این نیرو را توضیح داد و هم ثابت کرد که امکان سفر به آینده امکان‌پذیر است! در ادامه.

حل یک معادله دیفرانسیل

معادلات دیفرانسیل همواره در توضیح پدیده‌ها به ما کمک می‌کنند، اما استفاده از آن‌ها نیز معمولا مشکل به نظر می‌رسد. خوشبختانه معادله بیان شده در مثال قبلی – با استفاده از روش جداسازی متغیر‌ها – قابل حل است.

حرکت نوسانی ساده

در فیزیک، مبحثی به نام «حرکت دوره‌ای» (Periodic Motion) وجود دارد. ساده‌ترین نوع این حرکت، «حرکت نوسانی ساده» (Simple Harmonic Motion) است. به منظور تحلیل و بررسی سیستم جرم و فنر، آن را به صورت نوسانی ساده در نظر می‌گیرند. در چنین سیستمی نیروی ذخیره شده در فنر با افزایش طول آن زیاد می‌شود.

در ابتدا فنری را در نظر بگیرید که جرمی به آن متصل شده‌ است. با توجه به این فرض، نوسان جرم طی مراحل زیر اتفاق خواهد افتاد:

• این جرم به دلیل نیروی گرانشی به سمت پایین کشیده می‌شود.
• به دلیل زیاد شدن طول فنر، نیروی کششی در آن افزایش می‌یابد.
• به تدریج سرعت جرم، کم خواهد شد.
• نیروی کششی موجود در فنر، جرم را به سمت بالا می‌کشد.
• دوباره جرم به سمت پایین حرکت خواهد کرد و مرتبا این مراحل تکرار خواهند شد.

مشخصات فایل